Teoría de conjuntos , rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades de colecciones bien definidas de objetos, que pueden ser o no de naturaleza matemática, como números o funciones . La teoría es menos valiosa en su aplicación directa a la experiencia ordinaria que como base para una terminología precisa y adaptable para la definición de conceptos matemáticos complejos y sofisticados.
Entre los años 1874 y 1897, el matemático y lógico alemán Georg Cantor creó una teoría de conjuntos abstractos de entidades y la convirtió en una teoría matemática. disciplina . Esta teoría surgió de sus investigaciones de algunos problemas concretos con respecto a ciertos tipos de infinito conjuntos de números reales. Un conjunto, escribió Cantor, es una colección de objetos de percepción o pensamiento definidos y distinguibles concebidos como un todo. Los objetos se denominan elementos o miembros del conjunto.
La teoría tenía el aspecto revolucionario de tratar los conjuntos infinitos como objetos matemáticos que están en pie de igualdad con los que pueden construirse en un número finito de pasos. Desde la antigüedad, la mayoría de los matemáticos había evitado cuidadosamente la introducción en sus argumentos del infinito real (es decir, de conjuntos que contienen una infinidad de objetos concebidos como existentes simultáneamente, al menos en el pensamiento). Dado que esta actitud persistió hasta casi el final del siglo XIX, la obra de Cantor fue objeto de muchos crítica en el sentido de que se trataba de ficciones, de hecho, de que invadido en el dominio de los filósofos y violó los principios de religión . Una vez aplicaciones a análisis Empezaron a encontrarse, sin embargo, las actitudes empezaron a cambiar y, en la década de 1890, las ideas y los resultados de Cantor estaban ganando aceptación. En 1900, la teoría de conjuntos fue reconocida como una rama distinta de las matemáticas.
En ese momento, sin embargo, se descubrieron varias contradicciones en la llamada teoría de conjuntos ingenua. Para eliminar tales problemas, se desarrolló una base axiomática para la teoría de conjuntos. análogo al desarrollado para primaria geometría . El grado de éxito que se ha logrado en este desarrollo, así como la estatura actual de la teoría de conjuntos, ha sido bien expresado en el Nicolas Bourbaki Elementos matemáticos (iniciado en 1939; Elementos de las Matemáticas): Hoy en día se sabe que es posible, hablando lógicamente, derivar prácticamente la totalidad de las matemáticas conocidas de una sola fuente, La Teoría de Conjuntos.
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En la teoría de conjuntos ingenua, un conjunto es una colección de objetos (llamados miembros o elementos) que se considera como un solo objeto. Para indicar que un objeto x es miembro de un grupo A uno escribe x ∊ A , tiempo x ∉ A indica que x no es miembro de A . Un conjunto puede definirse mediante una regla de pertenencia (fórmula) o enumerando sus miembros entre llaves. Por ejemplo, el conjunto dado por la regla números primos menores que 10 también puede estar dado por {2, 3, 5, 7}. En principio, cualquier conjunto finito puede definirse mediante una lista explícita de sus miembros, pero especificar conjuntos infinitos requiere una regla o patrón para indicar la pertenencia; por ejemplo, la elipsis en {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…} indica que la lista de números naturales ℕ es indefinida. El conjunto vacío (o nulo o nulo), simbolizado por {} o Ø, no contiene ningún elemento. No obstante, tiene el estatus de conjunto.
Un conjunto A se llama un subconjunto de un conjunto B (simbolizado por A ⊆ B ) si todos los miembros de A también son miembros de B . Por ejemplo, cualquier conjunto es un subconjunto de sí mismo y Ø es un subconjunto de cualquier conjunto. Si ambos A ⊆ B y B ⊆ A , luego A y B tienen exactamente los mismos miembros. Parte del concepto de conjunto es que en este caso A = B ; es decir, A y B son el mismo conjunto.
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