Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad

Una variable aleatoria es una descripción numérica del resultado de un experimento estadístico. Una variable aleatoria que puede asumir solo un número finito o un infinito se dice que la secuencia de valores es discreta; uno que puede asumir cualquier valor en algún intervalo de la recta numérica real se dice que es continuo. Por ejemplo, una variable aleatoria que represente el número de automóviles vendidos en un concesionario en particular en un día sería discreta, mientras que una variable aleatoria que represente el peso de una persona en kilogramos (o libras) sería continua.

La distribución de probabilidad para una variable aleatoria describe cómo se distribuyen las probabilidades sobre los valores de la variable aleatoria. Para una variable aleatoria discreta, x , la distribución de probabilidad está definida por una función de masa de probabilidad, denotada por F ( x ). Esta función proporciona la probabilidad de cada valor de la variable aleatoria. En el desarrollo de la función de probabilidad para una variable aleatoria discreta, se deben cumplir dos condiciones: (1) F ( x ) debe ser no negativo para cada valor de la variable aleatoria, y (2) la suma de las probabilidades para cada valor de la variable aleatoria debe ser igual a uno.



Una variable aleatoria continua puede asumir cualquier valor en un intervalo en la recta numérica real o en una colección de intervalos. Dado que hay un número infinito de valores en cualquier intervalo, no tiene sentido hablar de la probabilidad de que la variable aleatoria adopte un valor específico; en cambio, se considera la probabilidad de que una variable aleatoria continua se encuentre dentro de un intervalo dado.



En el caso continuo, la contraparte de la función de masa de probabilidad es la función de densidad de probabilidad, también denotada por F ( x ). Para una variable aleatoria continua, la función de densidad de probabilidad proporciona la altura o el valor de la función en cualquier valor particular de x ; no da directamente la probabilidad de que la variable aleatoria adquiera un valor específico. Sin embargo, el área bajo la gráfica de F ( x ) correspondiente a algún intervalo, obtenido calculando la integral de F ( x ) durante ese intervalo, proporciona la probabilidad de que la variable adopte un valor dentro de ese intervalo. Una función de densidad de probabilidad debe satisfacer dos requisitos: (1) F ( x ) debe ser no negativo para cada valor de la variable aleatoria, y (2) el integral sobre todos los valores de la variable aleatoria debe ser igual a uno.

El valor esperado, o media, de una variable aleatoria, denotado por ES ( x ) o μ: es un promedio ponderado de los valores que puede asumir la variable aleatoria. En el caso discreto, las ponderaciones vienen dadas por la función de masa de probabilidad, y en el caso continuo las ponderaciones vienen dadas por la función de densidad de probabilidad. Las fórmulas para calcular los valores esperados de variables aleatorias discretas y continuas vienen dadas por las ecuaciones 2 y 3, respectivamente.



ES ( x ) = Σ x F ( x ) (2)

ES ( x ) = ∫ x F ( x ) D x (3)

La varianza de una variable aleatoria, denotada por Var ( x ) o σ2, es un promedio ponderado de las desviaciones cuadradas de la media. En el caso discreto, las ponderaciones vienen dadas por la función de masa de probabilidad, y en el caso continuo las ponderaciones vienen dadas por la función de densidad de probabilidad. Las fórmulas para calcular las varianzas de variables aleatorias discretas y continuas vienen dadas por las ecuaciones 4 y 5, respectivamente. La Desviación Estándar , denotado σ, es la raíz cuadrada positiva de la varianza. Dado que la desviación estándar se mide en las mismas unidades que la variable aleatoria y la varianza se mide en unidades cuadradas, la desviación estándar es a menudo la medida preferida.



Dónde( x ) = σ2= Σ ( x - μ)2 F ( x ) (4)

Dónde( x ) = σ2= ∫( x - μ)2 F ( x ) D x (5)

Distribuciones de probabilidad especiales

La distribución binomial

Dos de las distribuciones de probabilidad discretas más utilizadas son el binomio y Poisson. La función de masa de probabilidad binomial (ecuación 6) proporciona la probabilidad de que x los éxitos ocurrirán en norte ensayos de un experimento binomial.



Ecuación.

Un experimento binomial tiene cuatro propiedades: (1) consiste en una secuencia de norte ensayos idénticos; (2) dos resultados, éxito o fracaso, son posibles en cada ensayo; (3) la probabilidad de éxito en cualquier ensayo, denotada pag , no cambia de un ensayo a otro; y (4) los ensayos son independientes. Por ejemplo, suponga que se sabe que el 10 por ciento de los propietarios de automóviles de dos años han tenido problemas con el sistema eléctrico de su automóvil. Para calcular la probabilidad de encontrar exactamente 2 propietarios que han tenido problemas en el sistema eléctrico de un grupo de 10 propietarios, la función de masa de probabilidad binomial se puede utilizar estableciendo norte = 10, x = 2, y pag = 0,1 en la ecuación 6; para este caso, la probabilidad es 0,1937.



La distribución de Poisson

La distribución de probabilidad de Poisson se utiliza a menudo como modelo del número de llegadas a una instalación en un período de tiempo determinado. Por ejemplo, una variable aleatoria podría definirse como la cantidad de llamadas telefónicas que ingresan al sistema de reserva de una aerolínea durante un período de 15 minutos. Si se conoce el número medio de llegadas durante un intervalo de 15 minutos, la función de masa de probabilidad de Poisson dada por la ecuación 7 se puede utilizar para calcular la probabilidad de x Llegadas.

Ecuación.



Por ejemplo, suponga que el número medio de llamadas que llegan en un período de 15 minutos es 10. Para calcular la probabilidad de que entren 5 llamadas en los próximos 15 minutos, μ = 10 y x = 5 se sustituyen en la ecuación 7, dando una probabilidad de 0.0378.

La distribución normal

La distribución de probabilidad continua más utilizada en estadística es la distribución de probabilidad normal. El gráfico correspondiente a una función de densidad de probabilidad normal con una media de μ = 50 y una desviación estándar de σ = 5 se muestra enfigura 3. Como todos los gráficos de distribución normal, es una curva en forma de campana. Las probabilidades para la distribución de probabilidad normal se pueden calcular utilizando tablas estadísticas para la distribución de probabilidad normal estándar, que es una distribución de probabilidad normal con una media de cero y una desviación estándar de uno. Se utiliza una fórmula matemática simple para convertir cualquier valor de una distribución de probabilidad normal con media μ y una desviación estándar σ en un valor correspondiente para una distribución normal estándar. Las tablas de la distribución normal estándar se utilizan luego para calcular las probabilidades apropiadas.



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distribución de probabilidad normal

distribución de probabilidad normal Figura 3: Una distribución de probabilidad normal con una media ( μ ) de 50 y una desviación estándar ( σ ) de 5. Encyclopædia Britannica, Inc.

Hay muchas otras distribuciones de probabilidad discretas y continuas. Otras distribuciones discretas ampliamente utilizadas incluyen la geométrica, la hipergeométrica y la binomial negativa; Otras distribuciones continuas de uso común incluyen el uniforme, exponencial, gamma, chi-cuadrado, beta, t y F.