Distribución normal , también llamado distribución gaussiana , la función de distribución más común para variables independientes generadas aleatoriamente. Su familiar curva en forma de campana es ubicuo en informes estadísticos, desde el análisis de encuestas y el control de calidad hasta la asignación de recursos.
El gráfico de la distribución normal se caracteriza por dos parámetros: la media, o promedio, que es el máximo del gráfico y alrededor del cual el gráfico es siempre simétrico; y el Desviación Estándar , que determina la cantidad de dispersión fuera de la media. Una pequeña desviación estándar (en comparación con la media) produce un gráfico empinado, mientras que una gran desviación estándar (de nuevo en comparación con la media) produce un gráfico plano. Ver la.
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La distribución normal es producida por la función de densidad normal, pag ( x ) = es −( x - μ)2/ 2σ2/ σRaíz cuadrada de√2π. En esta función exponencial es es la constante 2.71828…, es la media y σ es la desviación estándar. La probabilidad de que una variable aleatoria caiga dentro de cualquier rango de valores dado es igual a la proporción del área encerrada bajo el gráfico de la función entre los valores dados y por encima del x -eje. Porque el denominador (σRaíz cuadrada de√2π), conocido como coeficiente de normalización, hace que el área total encerrada en la gráfica sea exactamente igual a la unidad, las probabilidades se pueden obtener directamente del área correspondiente, es decir, un área de 0.5 corresponde a una probabilidad de 0.5. Aunque estas áreas se pueden determinar con cálculo , las tablas se generaron en el siglo XIX para el caso especial de = 0 y σ = 1, conocida como distribución normal estándar, y estas tablas se pueden usar para cualquier distribución normal después de que las variables se reescalen adecuadamente restando su media y dividiendo por su desviación estándar, ( x - μ) / σ. Las calculadoras ahora prácticamente han eliminado el uso de tales tablas. Para mas detalles ver teoría de probabilidad .
El término distribución gaussiana se refiere al matemático alemán Carl Friedrich Gauss , quien desarrolló por primera vez una función exponencial de dos parámetros en 1809 en relación con estudios de errores de observación astronómica. Este estudio llevó a Gauss a formular su ley del error de observación y a avanzar en la teoría del método de aproximación por mínimos cuadrados. Otra famosa aplicación temprana de la distribución normal fue la del físico británico James Clerk Maxwell, quien en 1859 formuló su ley de distribución de velocidades moleculares, que luego se generalizó como la ley de distribución de Maxwell-Boltzmann.
El matemático francés Abraham de Moivre , en su Doctrina de las posibilidades (1718), señaló por primera vez que las probabilidades asociadas con variables aleatorias generadas discretamente (como las que se obtienen lanzando una moneda o lanzando un dado) se pueden aproximar mediante el área bajo la gráfica de una función exponencial. Este resultado fue ampliado y generalizado por el científico francés Pierre-Simon Laplace, en su Teoría analítica de la probabilidad (1812; Teoría analítica de la probabilidad), en el primer teorema del límite central, que demostró que las probabilidades de casi todas las variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas convergen rápidamente (con el tamaño de la muestra) al área bajo una función exponencial, es decir, a un valor normal. distribución. El teorema del límite central permitía que problemas hasta ahora insolubles, particularmente aquellos que involucraban variables discretas, se manejaran con cálculo.
