Henri Poincaré

Henri Poincaré , en su totalidad Jules Henri Poincaré , (nacido el 29 de abril de 1854 en Nancy, Francia; muerto el 17 de julio de 1912 en París), matemático francés, uno de los más grandes matemáticos y físicos matemáticos de finales del siglo XIX. Hizo una serie de profundos innovaciones en geometría , la teoría de ecuaciones diferenciales, electromagnetismo, topología y filosofía de las matemáticas.

Poincaré creció en Nancy y estudió matemáticas de 1873 a 1875 en la École Polytechnique de París. Continuó sus estudios en la Escuela de Minería de Caen antes de recibir su doctorado en la Universidad de París en 1879. Mientras era estudiante, descubrió nuevos tipos de funciones complejas que resolvían una amplia variedad de ecuaciones diferenciales. Este importante trabajo involucró una de las primeras aplicaciones principales de la geometría no euclidiana, un tema descubierto por el húngaro János Bolyai y el ruso Nikolay Lobachevsky alrededor de 1830, pero no aceptado generalmente por los matemáticos hasta las décadas de 1860 y 1970. Poincaré publicó una larga serie de artículos sobre este trabajo en 1880-1884 que efectivamente se hizo famoso internacionalmente. El prominente matemático alemán Felix Klein, solo cinco años mayor que él, ya estaba trabajando en el área, y todos coincidieron en que Poincaré salió mejor de la comparación.

En la década de 1880, Poincaré también comenzó a trabajar en curvas definidas por un tipo particular de ecuación diferencial, en la que fue el primero en considerar la naturaleza global de las curvas solución y sus posibles puntos singulares (puntos donde la ecuación diferencial no está correctamente definida). Investigó cuestiones tales como: ¿Las soluciones entran o se alejan de un punto? ¿Al igual que la hipérbola, al principio se acercan a un punto y luego pasan y se alejan de él? ¿Algunas soluciones forman bucles cerrados? Si es así, ¿las curvas cercanas se acercan o se alejan de estos bucles cerrados? Mostró que el número y los tipos de puntos singulares están determinados puramente por la naturaleza topológica de la superficie. En particular, es solo en el toro que las ecuaciones diferenciales que estaba considerando no tienen puntos singulares.

Poincaré pretendía que este trabajo preliminar condujera al estudio de las ecuaciones diferenciales más complicadas que describen el movimiento del sistema solar. En 1885 se presentó un incentivo adicional para dar el siguiente paso cuando King Oscar II de Suecia ofreció un premio a cualquiera que pudiera establecer la estabilidad del sistema solar. Esto requeriría demostrar que las ecuaciones de movimiento de los planetas podrían resolverse y las órbitas de los planetas mostradas como curvas que permanecen en una región limitada del espacio durante todo el tiempo. Algunos de los más grandes matemáticos desde Isaac Newton habían intentado resolver este problema, y ​​Poincaré pronto se dio cuenta de que no podía avanzar a menos que se concentrara en un caso especial más simple, en el que dos cuerpos masivos orbitan entre sí en círculos alrededor de su común. centro de gravedad mientras que un diminuto tercer cuerpo los orbita a ambos. El tercer cuerpo se considera tan pequeño que no afecta las órbitas de los más grandes. Poincaré pudo establecer que la órbita es estable, en el sentido de que el cuerpo pequeño regresa infinitamente a menudo arbitrariamente cerca de cualquier posición que haya ocupado. Esto no significa, sin embargo, que tampoco se aleje mucho en ocasiones, lo que tendría consecuencias desastrosas para la vida en la Tierra. Por este y otros logros en su ensayo, Poincaré fue galardonado con el premio en 1889. Pero, al escribir el ensayo para su publicación, Poincaré descubrió que otro resultado era incorrecto y, al corregirlo, descubrió que el movimiento podía ser caótico. Tenía la esperanza de demostrar que si el cuerpo pequeño podía iniciarse de tal manera que viajara en una órbita cerrada, comenzarlo casi de la misma manera daría como resultado una órbita que al menos se mantuviera cerca de la órbita original. En cambio, descubrió que incluso pequeños cambios en las condiciones iniciales podían producir cambios grandes e impredecibles en la órbita resultante. (Este fenómeno se conoce ahora como sensibilidad patológica a las posiciones iniciales, y es uno de los signos característicos de un sistema caótico. Ver complejidad.) Poincaré resumió sus nuevos métodos matemáticos en astronomía en Nuevos métodos de mecánica celeste , 3 vol. (1892, 1893, 1899; Los nuevos métodos de la mecánica celeste).

prácticas sintoístas que todavía existen hoy

Poincaré se vio impulsado por este trabajo a contemplar espacios matemáticos (ahora denominados variedades) en los que la posición de un punto está determinada por varias coordenadas. Se sabía muy poco acerca de tales variedades y, aunque el matemático alemán Bernhard Riemann los había insinuado una generación o más antes, pocos habían captado la indirecta. Poincaré asumió la tarea y buscó formas de distinguir tales variedades, abriendo así todo el tema de la topología, entonces conocida como análisis situs. Riemann había demostrado que en dos dimensiones las superficies se pueden distinguir por su género (el número de agujeros en la superficie), y Enrico Betti en Italia y Walther von Dyck en Alemania habían extendido este trabajo a tres dimensiones, pero quedaba mucho por hacer. Poincaré destacó la idea de considerar curvas cerradas en la variedad que no se pueden deformar entre sí. Por ejemplo, cualquier curva en la superficie de una esfera se puede reducir continuamente a un punto, pero hay curvas en un toro (curvas envueltas alrededor de un agujero, por ejemplo) que no pueden. Poincaré preguntó si una variedad tridimensional en la que cada curva puede reducirse a un punto es topológicamente equivalente a una esfera tridimensional. Este problema (ahora conocido como la conjetura de Poincaré) se convirtió en uno de los problemas sin resolver más importantes de la topología algebraica. Irónicamente, la conjetura fue probada por primera vez para dimensiones superiores a tres: en las dimensiones cinco y superiores por Stephen Smale en la década de 1960 y en la dimensión cuatro como consecuencia del trabajo de Simon Donaldson y Michael Freedman en la década de 1980. Finalmente, Grigori Perelman demostró la conjetura de las tres dimensiones en 2006. Todos estos logros fueron marcados con la concesión de una Medalla Fields. De Poincaré Sitio de análisis (1895) fue uno de los primeros tratamientos sistemáticos de la topología, y a menudo se le llama el padre de la topología algebraica.

El principal logro de Poincaré en física matemática fue su tratamiento magistral de las teorías electromagnéticas de Hermann von Helmholtz, Heinrich Hertz y Hendrik Lorentz. Su interés en este tema, que, según demostró, parecía contradecir las leyes de la mecánica de Newton, lo llevó a escribir un artículo en 1905 sobre el movimiento del electrón. Este artículo, y otros de él en este momento, estuvieron cerca de anticipar el descubrimiento de Albert Einstein de la teoría de la relatividad especial. Pero Poincaré nunca dio el paso decisivo de reformular los conceptos tradicionales de espacio y tiempo en espacio-tiempo, que fue el logro más profundo de Einstein. Se intentó obtener un Premio Nobel en física para Poincaré, pero su trabajo era demasiado teórico e insuficientemente experimental para algunos gustos.

Hacia 1900 Poincaré adquirió la costumbre de redactar relatos de su obra en forma de ensayos y conferencias para el público en general. Publicado como Ciencia e hipótesis (1903; Ciencia e hipótesis ), El valor de la ciencia (1905; El valor de la ciencia ), y Ciencia y metodo (1908; Ciencia y Método ), estos ensayos forman el núcleo de su reputación como filósofo de las matemáticas y la ciencia. Su afirmación más famosa a este respecto es que gran parte de la ciencia es una cuestión de convención. Llegó a este punto de vista al pensar en la naturaleza del espacio: ¿era euclidiano o no euclidiano? Argumentó que uno nunca podría decirlo, porque uno no podría separar lógicamente la física involucrada de las matemáticas, por lo que cualquier elección sería una cuestión de convención. Poincaré sugirió que uno naturalmente elegiría trabajar con el más fácil hipótesis .

La filosofía de Poincaré estuvo profundamente influenciada por el psicologismo. Siempre estuvo interesado en lo que entiende la mente humana, más que en lo que puede formalizar. Así, aunque Poincaré reconoció que la geometría euclidiana y no euclidiana son igualmente verdaderas, argumentó que nuestras experiencias nos han predispuesto y continuarán predisponiéndonos a formular la física en términos de geometría euclidiana; Einstein demostró que estaba equivocado. Poincaré también sintió que nuestra comprensión de los números naturales era innata y, por lo tanto, fundamental, por lo que criticó los intentos de reducir todas las matemáticas a la lógica simbólica (como lo defendieron Bertrand Russell en Inglaterra y Louis Couturat en Francia) y de los intentos de reducir las matemáticas. a teoría de conjuntos axiomáticos . En estas creencias resultó tener razón, como lo demostró Kurt Gödel en 1931.

En muchos sentidos, la influencia de Poincaré fue extraordinaria. Todos los temas discutidos anteriormente llevaron a la creación de nuevas ramas de las matemáticas que aún hoy están muy activas, y también aportó una gran cantidad de resultados más técnicos. Sin embargo, en otros aspectos, su influencia fue leve. Nunca atrajo a un grupo de estudiantes a su alrededor, y la generación más joven de matemáticos franceses que se acercó tendió a mantenerlo a una distancia respetuosa. Su incapacidad para apreciar a Einstein ayudó a relegar su trabajo en la física a la oscuridad después de las revoluciones de la relatividad especial y general. Su exposición matemática, a menudo imprecisa, enmascarada por un estilo de prosa delicioso, era ajena a la generación de la década de 1930 que modernizó las matemáticas francesas bajo la colectivo seudónimo de Nicolas Bourbaki, y demostraron ser una fuerza poderosa. Su filosofía de las matemáticas carecía del aspecto técnico y la profundidad de los desarrollos inspirados en el trabajo del matemático alemán David Hilbert. Sin embargo, su diversidad y la fecundidad ha comenzado a resultar atractiva de nuevo en un mundo que concede más importancia a las matemáticas aplicables y menos a la teoría sistemática.

La mayoría de los artículos originales de Poincaré se publican en los 11 volúmenes de su Obras de Henri Poincaré (1916-1954). En 1992, el Archives-Centre d'Études et de Recherche Henri-Poincaré fundado en la Universidad de Nancy 2 comenzó a editar la correspondencia científica de Poincaré, lo que indica un resurgimiento del interés por él.