función , en matemáticas, una expresión, regla o ley que define una relación entre una variable (la variable independiente) y otra variable (la variable dependiente). Las funciones son ubicuo en matemáticas y son esenciales para formular relaciones físicas en las ciencias. La definición moderna de función fue dada por primera vez en 1837 por el matemático alemán Peter Dirichlet:
Si una variable y está tan relacionado con una variable x que siempre que se asigna un valor numérico a x , hay una regla según la cual un valor único de y está determinado, entonces y se dice que es una función de la variable independiente x .
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Esta relación se simboliza comúnmente como y = F ( x ). Además de F ( x ), otros símbolos abreviados como gramo ( x ) y PAG ( x ) se utilizan a menudo para representar funciones de la variable independiente x , especialmente cuando se desconoce o no se especifica la naturaleza de la función.
Muchas fórmulas matemáticas ampliamente utilizadas son expresiones de funciones conocidas. Por ejemplo, la fórmula para el área de un círculo, A = π r 2, da la variable dependiente A (el área) en función de la variable independiente r (el radio). Las funciones que involucran más de dos variables también son comunes en matemáticas, como se puede ver en la fórmula para el área de un triángulo, A = b h / 2, que define A en función de ambos b (base) y h (altura). En estos ejemplos, las restricciones físicas obligan a las variables independientes a ser números positivos. Cuando a las variables independientes también se les permite tomar valores negativos, por lo tanto, cualquier número real, las funciones se conocen como funciones de valor real.
La fórmula para el área de un círculo es un ejemplo de función polinomial. La forma general de tales funciones es PAG ( x ) = a 0+ a 1 x + a 2 x 2+⋯+ a norte x norte ,donde los coeficientes ( a 0, a 1, a 2,…, a norte ) son dados, x puede ser cualquier número real, y todos los poderes de x están contando números (1, 2, 3,…). (Cuando los poderes de x puede ser cualquier número real, el resultado se conoce como función algebraica). Las funciones polinomiales se han estudiado desde los tiempos más remotos debido a su versatilidad: prácticamente cualquier relación que involucre números reales puede aproximarse mucho mediante una función polinomial. Las funciones polinomiales se caracterizan por la mayor potencia de la variable independiente. Los nombres especiales se utilizan comúnmente para las potencias de uno a cinco: lineal, cuadrática, cúbica, cuártica y quíntica.
A las funciones polinomiales se les puede dar una representación geométrica mediante geometría analítica. La variable independiente x se traza a lo largo de la x -eje (una línea horizontal) y la variable dependiente y se traza a lo largo de la y -eje (una línea vertical). La gráfica de la función entonces consta de los puntos con coordenadas ( x , y ) dónde y = F ( x ). Por ejemplo, la gráfica de la ecuación cúbica F ( x ) = x 3− 3 x + 2 se muestra en el.
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ecuación cúbica Gráfica de la ecuación cúbica F ( x ) = x 3− 3 x + 2. Los puntos graficados son donde ocurren los cambios de curvatura. Encyclopædia Britannica, Inc.
Otro tipo común de función que se ha estudiado desde la antigüedad son las funciones trigonométricas, como sin x y porque x , dónde x es la medida de un ángulo ( ver ). Debido a su naturaleza periódica, las funciones trigonométricas se utilizan a menudo para modelar comportamientos que se repiten o ciclos. Las funciones no algebraicas, como las funciones exponenciales y trigonométricas, también se conocen como funciones trascendentales.
gráficos de algunas funciones trigonométricas Tenga en cuenta que cada una de estas funciones es periódica. Por lo tanto, las funciones seno y coseno se repiten cada 2π, y las funciones tangente y cotangente se repiten cada π. Encyclopædia Britannica, Inc.
Las aplicaciones prácticas de funciones cuyas variables son números complejos no son tan fáciles de ilustrar, pero sin embargo son muy extensas. Ocurren, por ejemplo, en ingeniería eléctrica y aerodinámica. Si la variable compleja se representa en la forma con = x + I y , dónde I es la unidad imaginaria (la raíz cuadrada de -1) y x y y son variables reales ver ), es posible dividir la función compleja en partes reales e imaginarias: F ( con ) = PAG ( x , y ) + I Q ( x , y ).
punto en el plano complejo Un punto en el plano complejo. A diferencia de los números reales, que pueden ubicarse mediante un solo número con signo (positivo o negativo) a lo largo de una recta numérica, los números complejos requieren un plano con dos ejes, un eje para el componente del número real y un eje para el componente imaginario. Aunque el plano complejo se parece al plano bidimensional ordinario, donde cada punto está determinado por un par ordenado de números reales ( x , y ), el punto x + I y es un solo número. Encyclopædia Britannica, Inc.
Al intercambiar los roles de las variables independientes y dependientes en una función dada, se puede obtener una función inversa. Las funciones inversas hacen lo que su nombre implica: deshacen la acción de una función para devolver una variable a su estado original. Por tanto, si para una función dada F ( x ) existe una función gramo ( y ) tal que gramo ( F ( x )) = x y F ( gramo ( y )) = y , luego gramo se llama función inversa de F y dada la notación F −1, donde por convención las variables se intercambian. Por ejemplo, la función F ( x ) = 2 x tiene la función inversa F −1( x ) = x /2.
Una función puede definirse mediante una serie de potencias. Por ejemplo, la serie infinita 
podría usarse para definir estas funciones para todos los valores complejos de x . Otros tipos de series y también infinito los productos se pueden utilizar cuando sea conveniente. Un caso importante es la serie de Fourier, que expresa una función en términos de senos y cosenos: 
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Tales representaciones son de gran importancia en física, particularmente en el estudio del movimiento ondulatorio y otros fenómenos oscilatorios.
A veces, las funciones se definen más convenientemente mediante ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, y = sin x es la solución de la ecuación diferencial D 2 y / D x 2+ y = 0 teniendo y = 0, D y / D x = 1 cuando x = 0; y = cos x es la solución de la misma ecuación que tiene y = 1, D y / D x = 0 cuando x = 0.
