Algoritmo

Algoritmo , procedimiento sistemático que produce, en un número finito de pasos, la respuesta a una pregunta o la solución de un problema. El nombre deriva de la traducción latina, Números algorítmicos de indios , del matemático musulmán del siglo IX al-Khwarizmi Aritmética tratado Al-Khwarizmi sobre el arte hindú del ajuste de cuentas.

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Para preguntas o problemas con solo un conjunto finito de casos o valores, algoritmo siempre existe (al menos en principio); consta de una tabla de valores de las respuestas. En general, no es un procedimiento tan trivial responder preguntas o problemas que tienen un infinito número de casos o valores a considerar, como es el número natural (1, 2, 3,…) a principal ? o ¿Cuál es el máximo común divisor de los números naturales? a y b ? La primera de estas preguntas pertenece a una clase llamada decidible; un algoritmo que produce una respuesta afirmativa o negativa se denomina procedimiento de decisión. La segunda pregunta pertenece a una clase llamada computable; un algoritmo que conduce a una respuesta numérica específica se denomina procedimiento de cálculo.



Algoritmos existen para muchas de esas infinitas clases de preguntas; Euclides Elementos , publicado alrededor de 300bce, contenía uno para encontrar el máximo común divisor de dos números naturales. Cada estudiante de escuela primaria se ejercita en una división larga, que es un algoritmo para la pregunta Al dividir un número natural a por otro número natural b , ¿cuáles son el cociente y el resto? El uso de este procedimiento computacional conduce a la respuesta a la pregunta decidible. b divide a ? (la respuesta es sí si el resto es cero). La aplicación repetida de estos algoritmos eventualmente produce la respuesta a la pregunta decidible es a ¿principal? (la respuesta es no si a es divisible por cualquier número natural más pequeño además de 1).



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A veces, no puede existir un algoritmo para resolver una clase infinita de problemas, particularmente cuando se hace alguna restricción adicional sobre el método aceptado. Por ejemplo, dos problemas de la época de Euclides que requerían el uso de solo un compás y una regla (regla sin marcar) —trisecar un ángulo y construir un cuadrado con un área igual a un círculo dado — fueron perseguidos durante siglos antes de que se demostrara que eran imposibles. . A principios del siglo XX, el influyente matemático alemán David Hilbert propuso 23 problemas para que los matemáticos los resolvieran en el siglo venidero. El segundo problema de su lista pedía una investigación de la consistencia de los axiomas de la aritmética. La mayoría de los matemáticos tenían pocas dudas sobre el eventual logro de este objetivo hasta 1931, cuando el lógico nacido en Austria Kurt Gödel demostró el sorprendente resultado de que deben existir proposiciones (o preguntas) aritméticas que no pueden ser probadas o refutadas. Esencialmente, cualquier propuesta de este tipo conduce a un procedimiento de determinación que nunca termina (una condición conocida como el problema de la detención). En un esfuerzo infructuoso por cerciorarse al menos qué proposiciones son irresolubles, el matemático y lógico inglés Alan Turing definió rigurosamente el concepto vagamente entendido de un algoritmo. Aunque Turing terminó demostrando que deben existir proposiciones indecidibles, su descripción de las características esenciales de cualquier máquina de algoritmos de propósito general, o máquina de Turing, se convirtió en la base de Ciencias de la Computación . Hoy en día, las cuestiones de la decidibilidad y la computabilidad son fundamentales para el diseño de un programa de computadora, un tipo especial de algoritmo.